2002 APMO 第 5 题

Let R denote the set of all real numbers. Find all functions $f$ from R to R satisfying:

(i) there are only finitely many $s$ in R such that $f(s)=0$, and

(ii) $f\left(x^{4}+y\right)=x^{3} f(x)+f(f(y))$ for all $x, y$ in $\mathbf{R}$.

令 R 表示所有实数的集合。找到从 R 到 R 的所有函数 $f$ 满足：

(i) R 中只有有限多个 $s$ 使得 $f(s)=0$，并且

(ii) $f\left(x^{4}+y\right)=x^{3} f(x)+f(f(y))$ 对于 $\mathbf{R}$ 中的所有 $x, y$。