2003 APMO 第 3 题

Let $k \geq 14$ be an integer, and let $p_{k}$ be the largest prime number which is strictly less than $k$. You may assume that $p_{k} \geq 3 k / 4$. Let $n$ be a composite integer. Prove:

(a) if $n=2 p_{k}$, then $n$ does not divide $(n-k)$ !;

(b) if $n>2 p_{k}$, then $n$ divides $(n-k)$ !.

设 $k \geq 14$ 为整数，$p_{k}$ 为严格小于 $k$ 的最大质数。您可以假设 $p_{k} \geq 3 k / 4$。令 $n$ 为复合整数。证明：

(a) 如果 $n=2 p_{k}$，则 $n$ 不能整除 $(n-k)$！；

(b) 如果 $n>2 p_{k}$，则 $n$ 除以 $(n-k)$！。