2006 APMO 第 2 题

Prove that every positive integer can be written as a finite sum of distinct integral powers of the golden mean $\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Here, an integral power of $\tau$ is of the form $\tau^{i}$, where $i$ is an integer (not necessarily positive).

证明每个正整数都可以写成黄金分割 $\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 的不同积分幂的有限和。这里，$\tau$ 的积分幂的形式为 $\tau^{i}$，其中 $i$ 是整数(不一定是正数)。