2006 APMO 第 3 题

Let $p \geq 5$ be a prime and let $r$ be the number of ways of placing $p$ checkers on a $p \times p$ checkerboard so that not all checkers are in the same row (but they may all be in the same column). Show that $r$ is divisible by $p^{5}$. Here, we assume that all the checkers are identical.

令 $p \geq 5$ 为素数，并令 $r$ 为将 $p$ 棋子放置在 $p \times p$ 棋盘上的方式数，这样并非所有棋子都在同一行(但它们可能都在同一列)。证明 $r$ 可以被 $p^{5}$ 整除。在这里，我们假设所有棋子都是相同的。