题面 APMO · 2007 · P1
来源 context
题面据 APMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Let be a set of 9 distinct integers all of whose prime factors are at most 3. Prove that contains 3 distinct integers such that their product is a perfect cube.
令 为一组 9 个不同的整数，其质因数至多为 3。证明 包含 3 个不同的整数，使得它们的乘积是完美的立方体。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2007 年 APMO P1 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？