2011 APMO 第 4 题

Let $n$ be a fixed positive odd integer. Take $m+2$ **distinct** points $P_0,P_1,\ldots ,P_{m+1}$ (where $m$ is a non-negative integer) on the coordinate plane in such a way that the following three conditions are satisfied:

1) $P_0=(0,1),P_{m+1}=(n+1,n)$ , and for each integer $i,1\le i\le m$ , both $x$ - and $y$ - coordinates of $P_i$ are integers lying in between $1$ and $n$ ( $1$ and $n$ inclusive).

2) For each integer $i,0\le i\le m$ , $P_iP_{i+1}$ is parallel to the $x$ -axis if $i$ is even, and is parallel to the $y$ -axis if $i$ is odd.

3) For each pair $i,j$ with $0\le i<j\le m$ , line segments $P_iP_{i+1}$ and $P_jP_{j+1}$ share at most $1$ point.

Determine the maximum possible value that $m$ can take.

令 $n$ 为固定的正奇整数。在坐标平面上取$m+2$ **不同**点$P_0,P_1,\ldots ,P_{m+1}$(其中$m$是非负整数)，满足以下三个条件：

1) $P_0=(0,1),P_{m+1}=(n+1,n)$ ，对于每个整数 $i,1\le i\le m$ ，$P_i$ 的 $x$ - 和 $y$ - 坐标都是位于 $1$ 和 $n$ 之间的整数(包括 $1$ 和 $n$)。

2) 对于每个整数 $i,0\le i\le m$ ，如果 $i$ 为偶数，则 $P_iP_{i+1}$ 平行于 $x$ 轴，如果 $i$ 为奇数，则平行于 $y$ 轴。

3) 对于每对 $i,j$ 且 $0\le i<j\le m$ ，线段 $P_iP_{i+1}$ 和 $P_jP_{j+1}$ 最多共享 $1$ 点。

确定 $m$ 可以取的最大可能值。