2013 APMO 第 4 题

Let $a$ and $b$ be positive integers, and let $A$ and $B$ be finite sets of integers satisfying:
(i) $A$ and $B$ are disjoint;
(ii) if an integer $i$ belongs either to $A$ or to $B$, then $i+a$ belongs to $A$ or $i-b$ belongs to $B$.

Prove that $a|A|=b|B|$. (Here $|X|$ denotes the number of elements in the set $X$.)

令 $a$ 和 $b$ 为正整数，并令 $A$ 和 $B$ 为满足以下条件的有限整数集：

(i) $A$ 和 $B$ 不相交；

(ii) 如果整数 $i$ 属于 $A$ 或 $B$，则 $i+a$ 属于 $A$ 或 $i-b$ 属于 $B$。

证明 $a|A|=b|B|$。 (这里$|X|$表示集合$X$中的元素数量。)