2020 APMO 第 5 题

Let $n \geq 3$ be a fixed integer. The number 1 is written $n$ times on a blackboard. Below the blackboard, there are two buckets that are initially empty. A move consists of erasing two of the numbers $a$ and $b$, replacing them with the numbers 1 and $a+b$, then adding one stone to the first bucket and $\operatorname{gcd}(a, b)$ stones to the second bucket. After some finite number of moves, there are $s$ stones in the first bucket and $t$ stones in the second bucket, where $s$ and $t$ are positive integers. Find all possible values of the ratio $\frac{t}{s}$.

令 $n \geq 3$ 为固定整数。数字 1 在黑板上被写了 $n$ 次。黑板下方有两个最初是空的桶。移动包括擦除数字 $a$ 和 $b$ 中的两个，用数字 1 和 $a+b$ 替换它们，然后将一颗石子添加到第一个桶中，并将 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 石子添加到第二个桶中。经过一定次数的移动后，第一个桶中有 $s$ 个石子，第二个桶中有 $t$ 个石子，其中 $s$ 和 $t$ 是正整数。找出比率 $\frac{t}{s}$ 的所有可能值。