2022 APMO 第 3 题

Find all positive integers $k<202$ for which there exists a positive integer $n$ such that

$$\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2 n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{k n}{202}\right\}=\frac{k}{2}$$

where $\{x\}$ denote the fractional part of $x$.

Note: $\{x\}$ denotes the real number $k$ with $0 \leq k<1$ such that $x-k$ is an integer.

查找所有存在正整数 $n$ 的正整数 $k<202$，使得

$$\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2 n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{k n}{202}\right\}=\frac{k}{2}$$

其中$\{x\}$表示$x$的小数部分。
注：$\{x\}$ 表示实数 $k$，且 $0 \leq k<1$ 使得 $x-k$ 为整数。