1988 CMO 第 2 题

Given two circles $C_1,C_2$ with common center, the radius of $C_2$ is twice the radius of $C_1$ . Quadrilateral $A_1A_2A_3A_4$ is inscribed in $C_1$ . The extension of $A_4A_1$ meets $C_2$ at $B_1$ ; the extension of $A_1A_2$ meets $C_2$ at $B_2$ ; the extension of $A_2A_3$ meets $C_2$ at $B_3$ ; the extension of $A_3A_4$ meets $C_2$ at $B_4$ . Prove that $P(B_1B_2B_3B_4)\ge 2P(A_1A_2A_3A_4)$ , and in what case the equality holds? ( $P(X)$ denotes the perimeter of quadrilateral $X$ )

给定两个具有共同圆心的圆 $C_1,C_2$ ， $C_2$ 的半径是 $C_1$ 半径的两倍。四边形 $A_1A_2A_3A_4$ 内接于 $C_1$ 。 $A_4A_1$ 的扩展在 $B_1$ 处与 $C_2$ 相交； $A_1A_2$ 的扩展在 $B_2$ 处与 $C_2$ 相交； $A_2A_3$ 的扩展在 $B_3$ 处与 $C_2$ 相交； $A_3A_4$ 的扩展名在 $B_4$ 处与 $C_2$ 相交。证明 $P(B_1B_2B_3B_4)\ge 2P(A_1A_2A_3A_4)$ ，在什么情况下等式成立？ ( $P(X)$ 表示四边形 $X$ 的周长)