1989 CMO 第 6 题

Let $S$ be the unit circle in the complex plane (i.e. the set of all complex numbers with their moduli equal to $1$ ).

We define function $f:S\rightarrow S$ as follow: $\forall z\in S$ , $f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \dots,$ $f^{(k)}(z)=f(f^{(k-1)}(z)) (k>1,k\in \mathbb{N}), \dots$ We call $c$ an $n$ -*period-point* of $f$ if $c$ ( $c\in S$ ) and $n$ ( $n\in\mathbb{N}$ ) satisfy: $f^{(1)}(c) \not=c, f^{(2)}(c) \not=c, f^{(3)}(c) \not=c, \dots, f^{(n-1)}(c) \not=c, f^{(n)}(c)=c$ .

Suppose that $f(z)=z^m$ ( $z\in S; m>1, m\in \mathbb{N}$ ), find the number of $1989$ -*period-point* of $f$ .

令 $S$ 为复平面中的单位圆(即模数等于 $1$ 的所有复数的集合)。

我们定义函数 $f:S\rightarrow S$ 如下： $\forall z\in S$ , $f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \dots,$ $f^{(k)}(z)=f(f^{(k-1)}(z)) (k>1,k\in \mathbb{N}), \dots$ 我们称$c$ 的 $f$ 的 $n$ -*周期点*，如果 $c$ ( $c\in S$ ) 和 $n$ ( $n\in\mathbb{N}$ ) 满足： $f^{(1)}(c) \not=c, f^{(2)}(c) \not=c, f^{(3)}(c) \not=c, \dots, f^{(n-1)}(c) \not=c, f^{(n)}(c)=c$ 。

假设 $f(z)=z^m$ ( $z\in S; m>1, m\in \mathbb{N}$ )，求 $f$ 的 $1989$ -*period-point* 的数量。