1990 CMO 第 3 题

A function $f(x)$ defined for $x\ge 0$ satisfies the following conditions:

i. for $x,y\ge 0$ , $f(x)f(y)\le x^2f(y/2)+y^2f(x/2)$ ;

ii. there exists a constant $M$ ( $M>0$ ), such that $|f(x)|\le M$ when $0\le x\le 1$ .

Prove that $f(x)\le x^2$ .

为 $x\ge 0$ 定义的函数 $f(x)$ 满足以下条件：

岛对于 $x,y\ge 0$ ，$f(x)f(y)\le x^2f(y/2)+y^2f(x/2)$ ；

二.存在一个常数 $M$ ( $M>0$ )，使得 $|f(x)|\le M$ 当 $0\le x\le 1$ 时。

证明 $f(x)\le x^2$ 。