1992 CMO 第 2 题

Given nonnegative real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ , let $a=min\{x_1, x_2,\dots ,x_n\}$ . Prove that the following inequality holds:

$$\sum^{n}_{i=1}\dfrac{1+x_i}{1+x_{i+1}}\le n+\dfrac{1}{(1+a)^2}\sum^{n}_{i=1}(x_i-a)^2 \quad\quad (x_{n+1}=x_1),$$

and equality occurs if and only if $x_1=x_2=\dots =x_n$ .

给定非负实数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ，令 $a=min\{x_1, x_2,\dots ,x_n\}$ 。证明以下不等式成立：

$$\sum^{n}_{i=1}\dfrac{1+x_i}{1+x_{i+1}}\le n+\dfrac{1}{(1+a)^2}\sum^{n}_{i=1}(x_i-a)^2 \quad\quad (x_{n+1}=x_1),$$

当且仅当 $x_1=x_2=\dots =x_n$ 时才发生相等。