1993 CMO 第 4 题

We are given a set $S=\{z_1,z_2,\cdots ,z_{1993}\}$ , where $z_1,z_2,\cdots ,z_{1993}$ are nonzero complex numbers (also viewed as nonzero vectors in the plane). Prove that we can divide $S$ into some groups such that the following conditions are satisfied:

(1) Each element in $S$ belongs and only belongs to one group;

(2) For any group $p$ , if we use $T(p)$ to denote the sum of all memebers in $p$ , then for any memeber $z_i (1\le i \le 1993)$ of $p$ , the angle between $z_i$ and $T(p)$ does not exceed $90^{\circ}$ ;

(3) For any two groups $p$ and $q$ , the angle between $T(p)$ and $T(q)$ exceeds $90^{\circ}$ (use the notation introduced in (2)).

我们给出一个集合 $S=\{z_1,z_2,\cdots ,z_{1993}\}$ ，其中 $z_1,z_2,\cdots ,z_{1993}$ 是非零复数(也被视为平面中的非零向量)。证明我们可以将 $S$ 分为一些组，以满足以下条件：

(1) $S$中的每个元素属于且仅属于一个组；

(2) 对于任意群 $p$ ，如果用 $T(p)$ 表示 $p$ 中所有成员的和，则对于 $p$ 中的任意成员 $z_i (1\le i \le 1993)$ ， $z_i$ 与 $T(p)$ 之间的夹角不超过 $90^{\circ}$ ；

(3) 对于任意两个群 $p$ 和 $q$ ，$T(p)$ 和 $T(q)$ 之间的角度超过 $90^{\circ}$ (使用(2)中引入的符号)。