1999 CMO 第 4 题

Let $a$ be a real number. Let $(f_n(x))_{n\ge 0}$ be a sequence of polynomials such that $f_0(x)=1$ and $f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)$ for all non-negative integers $n$ .

a) Prove that $f_n(x)=x^nf_n\left(x^{-1}\right)$ for all non-negative integers $n$ .

b) Find an explicit expression for $f_n(x)$ .

令 $a$ 为实数。令 $(f_n(x))_{n\ge 0}$ 为多项式序列，使得 $f_0(x)=1$ 和 $f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)$ 对于所有非负整数 $n$ 。

a) 证明 $f_n(x)=x^nf_n\left(x^{-1}\right)$ 对于所有非负整数 $n$ 。

b) 找到 $f_n(x)$ 的显式表达式。