2000 CMO 第 2 题

A sequence $(a_n)$ is defined recursively by $a_1=0, a_2=1$ and for $n\ge 3$ ,

$$a_n=\frac12na_{n-1}+\frac12n(n-1)a_{n-2}+(-1)^n\left(1-\frac{n}{2}\right).$$

Find a closed-form expression for $f_n=a_n+2\binom{n}{1}a_{n-1}+3\binom{n}{2}a_{n-2}+\ldots +(n-1)\binom{n}{n-2}a_2+n\binom{n}{n-1}a_1$ .

序列 $(a_n)$ 由 $a_1=0, a_2=1$ 递归定义，对于 $n\ge 3$ ，

$$a_n=\frac12na_{n-1}+\frac12n(n-1)a_{n-2}+(-1)^n\left(1-\frac{n}{2}\right).$$

查找 $f_n=a_n+2\binom{n}{1}a_{n-1}+3\binom{n}{2}a_{n-2}+\ldots +(n-1)\binom{n}{n-2}a_2+n\binom{n}{n-1}a_1$ 的封闭式表达式。