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番外 · 题谱 · 2000 · P5

2000 CMO 第 5 题

不等式 · P2/P5 · 中段题

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题面 CMO · 2000 · P5
来源 context

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理；中文题意为本站自译，英文行为来源英译摘要，公式请以原始来源为准。

CMO 2000 P5 inequality

Find all positive integers nn such that there exists integers n1,…,nk≥3n_1,\ldots,n_k\ge 3 , for some integer kk , satisfying

n=n1n2⋯nk=212k(n1−1)⋯(nk−1)−1.n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)\cdots (n_k-1)}-1.

找到所有正整数 nn ，使得存在整数 n1,…,nk≥3n_1,\ldots,n_k\ge 3 ，对于某个整数 kk ，满足

n=n1n2⋯nk=212k(n1−1)⋯(nk−1)−1.n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)\cdots (n_k-1)}-1.

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先猜等号，再看每一项的量纲和同次性。

提示 2

试着归一化，或把式子拆成柯西、均值、凸性可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件是否和题设完全兼容。

解答 folded
完整解答

题面已直接收录。先把 2000 年 CMO 第 5 题的条件整理成对象、关系、目标三部分；再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；最后补齐边界情形，并回到原题要求核对。