2001 CMO 第 3 题

Let $P$ be a regular $n$ -gon $A_1A_2\ldots A_n$ . Find all positive integers $n$ such that for each permutation $\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (n)$ there exists $1\le i,j,k\le n$ such that the triangles $A_{i}A_{j}A_{k}$ and $A_{\sigma (i)}A_{\sigma (j)}A_{\sigma (k)}$ are both acute, both right or both obtuse.

令 $P$ 为常规 $n$ -gon $A_1A_2\ldots A_n$ 。找到所有正整数 $n$，使得对于每个排列 $\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (n)$ 都存在 $1\le i,j,k\le n$，使得三角形 $A_{i}A_{j}A_{k}$ 和 $A_{\sigma (i)}A_{\sigma (j)}A_{\sigma (k)}$ 都是锐角、都是直角或都是钝角。