2002 CMO 第 6 题

Suppose that $c\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ . Find the least $M$ such that for every integer $n\ge 2$ and real numbers $0<a_1\le a_2\le\ldots \le a_n$ , if $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ , then we always have that $\sum_{k=1}^{n}a_{k}\le M\sum_{k=1}^{m}a_{k}$ where $m=[cn]$

假设 $c\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ 。找到最小的 $M$ 使得对于每个整数 $n\ge 2$ 和实数 $0<a_1\le a_2\le\ldots \le a_n$ ，如果 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ ，那么我们总是有$\sum_{k=1}^{n}a_{k}\le M\sum_{k=1}^{m}a_{k}$ 其中 $m=[cn]$