2004 CMO 第 2 题

Let $EFGH,ABCD$ and $E_1F_1G_1H_1$ be three convex quadrilaterals satisfying:

i) The points $E,F,G$ and $H$ lie on the sides $AB,BC,CD$ and $DA$ respectively, and $\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot \frac{CG}{GD}\cdot \frac{DH}{HA}=1$ ;
ii) The points $A,B,C$ and $D$ lie on sides $H_1E_1,E_1F_1,F_1,G_1$ and $G_1H_1$ respectively, and $E_1F_1||EF,F_1G_1||FG,G_1H_1||GH,H_1E_1||HE$ .

Suppose that $\frac{E_1A}{AH_1}=\lambda$ . Find an expression for $\frac{F_1C}{CG_1}$ in terms of $\lambda$ .

*Xiong Bin*

令 $EFGH,ABCD$ 和 $E_1F_1G_1H_1$ 为三个凸四边形，满足：

i) 点$E,F,G$和$H$分别位于边$AB,BC,CD$和$DA$上，并且$\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot \frac{CG}{GD}\cdot \frac{DH}{HA}=1$；
ii) 点 $A,B,C$ 和 $D$ 分别位于边 $H_1E_1,E_1F_1,F_1,G_1$ 和 $G_1H_1$ 上，以及 $E_1F_1||EF,F_1G_1||FG,G_1H_1||GH,H_1E_1||HE$ 。

假设 $\frac{E_1A}{AH_1}=\lambda$ 。根据 $\lambda$ 找到 $\frac{F_1C}{CG_1}$ 的表达式。

*熊斌*