2004 CMO 第 3 题

Let $c$ be a positive integer. Consider the sequence $x_1,x_2,\ldots$ which satisfies $x_1=c$ and, for $n\ge 2$ ,
$$x_n=x_{n-1}+\left\lfloor\frac{2x_{n-1}-(n+2)}{n}\right\rfloor+1$$
where $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer not greater than $x$ . Determine an expression for $x_n$ in terms of $n$ and $c$ .

*Huang Yumin*

令 $c$ 为正整数。考虑序列 $x_1,x_2,\ldots$ 满足 $x_1=c$ 并且，对于 $n\ge 2$ ，

$$x_n=x_{n-1}+\left\lfloor\frac{2x_{n-1}-(n+2)}{n}\right\rfloor+1$$

其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。根据 $n$ 和 $c$ 确定 $x_n$ 的表达式。

*黄玉民*