2004 CMO 第 5 题

For a given real number $a$ and a positive integer $n$ , prove that:
i) there exists exactly one sequence of real numbers $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ such that
$$\begin{cases} x_0=x_{n+1}=0, \frac{1}{2}(x_i+x_{i+1})=x_i+x_i^3-a^3,\ i=1,2,\ldots,n.\end{cases}$$
ii) the sequence $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ in i) satisfies $|x_i|\le |a|$ where $i=0,1,\ldots,n+1$ .

*Liang Yengde*

对于给定的实数 $a$ 和正整数 $n$ ，证明：

i) 存在一个实数序列 $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ 使得

$$\begin{cases} x_0=x_{n+1}=0, \frac{1}{2}(x_i+x_{i+1})=x_i+x_i^3-a^3,\ i=1,2,\ldots,n.\end{cases}$$

ii) i) 中的序列 $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ 满足 $|x_i|\le |a|$ 其中 $i=0,1,\ldots,n+1$ 。

*梁英德*