2007 CMO 第 4 题

Let $O, I$ be the circumcenter and incenter of triangle $ABC$ . The incircle of $\triangle ABC$ touches $BC, CA, AB$ at points $D, E, F$ repsectively. $FD$ meets $CA$ at $P$ , $ED$ meets $AB$ at $Q$ . $M$ and $N$ are midpoints of $PE$ and $QF$ respectively. Show that $OI \perp MN$ .

设 $O, I$ 为三角形 $ABC$ 的外心和内心。 $\三角形ABC$的内切圆分别与$BC、CA、AB$相切于点$D、E、F$。 $FD$ 在 $P$ 处与 $CA$ 相遇，$ED$ 在 $Q$ 处与 $AB$ 相遇。 $M$ 和$N$ 分别是$PE$ 和$QF$ 的中点。显示 $OI \perp MN$ 。