2008 CMO 第 2 题

Suppose $\triangle ABC$ is scalene. $O$ is the circumcenter and $A'$ is a point on the extension of segment $AO$ such that $\angle BA'A = \angle CA'A$ . Let point $A_1$ and $A_2$ be foot of perpendicular from $A'$ onto $AB$ and $AC$ . $H_{A}$ is the foot of perpendicular from $A$ onto $BC$ . Denote $R_{A}$ to be the radius of circumcircle of $\triangle H_{A}A_1A_2$ . Similiarly we can define $R_{B}$ and $R_{C}$ . Show that:

$$\frac{1}{R_{A}} + \frac{1}{R_{B}} + \frac{1}{R_{C}} = \frac{2}{R}$$

where R is the radius of circumcircle of $\triangle ABC$ .

假设$\三角形ABC$是不等边三角形。 $O$ 是外心，$A'$ 是线段 $AO$ 的延长线上的点，使得 $\angle BA'A = \angle CA'A$ 。设点 $A_1$ 和 $A_2$ 为从 $A'$ 到 $AB$ 和 $AC$ 的垂线脚。 $H_{A}$ 是从 $A$ 到 $BC$ 的垂直线的脚。将 $R_{A}$ 表示为 $\triangle H_{A}A_1A_2$ 的外接圆半径。类似地，我们可以定义 $R_{B}$ 和 $R_{C}$ 。表明：

$$\frac{1}{R_{A}} + \frac{1}{R_{B}} + \frac{1}{R_{C}} = \frac{2}{R}$$

其中 R 是 $\triangle ABC$ 的外接圆半径。