2013 CMO 第 2 题

Two circles $K_1$ and $K_2$ of different radii intersect at two points $A$ and $B$ , let $C$ and $D$ be two points on $K_1$ and $K_2$ , respectively, such that $A$ is the midpoint of the segment $CD$ . The extension of $DB$ meets $K_1$ at another point $E$ , the extension of $CB$ meets $K_2$ at another point $F$ . Let $l_1$ and $l_2$ be the perpendicular bisectors of $CD$ and $EF$ , respectively.

i) Show that $l_1$ and $l_2$ have a unique common point (denoted by $P$ ).

ii) Prove that the lengths of $CA$ , $AP$ and $PE$ are the side lengths of a right triangle.

不同半径的两个圆 $K_1$ 和 $K_2$ 相交于两点 $A$ 和 $B$ ，令 $C$ 和 $D$ 分别为 $K_1$ 和 $K_2$ 上的两点，使得 $A$ 为线段 $CD$ 的中点。 $DB$ 的外延在另一点 $E$ 处与 $K_1$ 相交，$CB$ 的外延在另一点 $F$ 处与 $K_2$ 相交。令 $l_1$ 和 $l_2$ 分别为 $CD$ 和 $EF$ 的垂直平分线。

i) 证明 $l_1$ 和 $l_2$ 有一个唯一的共同点(用 $P$ 表示)。

ii) 证明 $CA$ 、 $AP$ 和 $PE$ 的长度是直角三角形的边长。