2013 CMO 第 5 题

For any positive integer $n$ and $0 \leq i \leq n$ , denote $C_n^i \equiv c(n,i)\pmod{2}$ , where $c(n,i) \in \left\{ {0,1} \right\}$ . Define

$$f(n,q) = \sum\limits_{i = 0}^n {c(n,i){q^i}}$$

where $m,n,q$ are positive integers and $q + 1 \ne {2^\alpha }$ for any $\alpha \in \mathbb N$ . Prove that if $f(m,q)\left| {f(n,q)} \right.$ , then $f(m,r)\left| {f(n,r)} \right.$ for any positive integer $r$ .

对于任何正整数 $n$ 和 $0 \leq i \leq n$ ，表示 $C_n^i \equiv c(n,i)\pmod{2}$ ，其中 $c(n,i) \in \left\{ {0,1} \right\}$ 。定义

$$f(n,q) = \sum\limits_{i = 0}^n {c(n,i){q^i}}$$

其中 $m,n,q$ 是正整数，$q + 1 \ne {2^\alpha }$ 对于任何 $\alpha \in \mathbb N$ 。证明如果$f(m,q)\left| {f(n,q)} \right.$ ，然后 $f(m,r)\left| {f(n,r)} \right.$ 对于任何正整数 $r$ 。