2014 CMO 第 3 题

Let $ABC$ be a triangle with $AB>AC$ . Let $D$ be the foot of the internal angle bisector of $A$ . Points $F$ and $E$ are on $AC,AB$ respectively such that $B,C,F,E$ are concyclic. Prove that the circumcentre of $DEF$ is the incentre of $ABC$ if and only if $BE+CF=BC$ .

令 $ABC$ 为 $AB>AC$ 的三角形。令 $D$ 为 $A$ 的内角平分线的底脚。点 $F$ 和 $E$ 分别位于 $AC,AB$ 上，使得 $B,C,F,E$ 是同循环的。证明 $DEF$ 的外心是 $ABC$ 的内心当且仅当 $BE+CF=BC$ 。