2014 CMO 第 5 题

For non-empty number sets $S, T$ , define the sets $S+T=\{s+t\mid s\in S, t\in T\}$ and $2S=\{2s\mid s\in S\}$ .

Let $n$ be a positive integer, and $A, B$ be two non-empty subsets of $\{1,2\ldots,n\}$ . Show that there exists a subset $D$ of $A+B$ such that

1) $D+D\subseteq 2(A+B)$ ,

2) $|D|\geq\frac{|A|\cdot|B|}{2n}$ ,

where $|X|$ is the number of elements of the finite set $X$ .

对于非空数集 $S, T$ ，定义集合 $S+T=\{s+t\mid s\in S, t\in T\}$ 和 $2S=\{2s\mid s\in S\}$ 。

设 $n$ 为正整数，$A, B$ 为 $\{1,2\ldots,n\}$ 的两个非空子集。表明存在 $A+B$ 的子集 $D$，使得

1) $D+D\subseteq 2(A+B)$ ,

2) $|D|\geq\frac{|A|\cdot|B|}{2n}$ ,

其中 $|X|$ 是有限集 $X$ 的元素数量。