2014 CMO 第 6 题

Let $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$ be the prime factorisation of $n$ . Define $\omega(n)=t$ and $\Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t$ . Prove or disprove:

For any fixed positive integer $k$ and positive reals $\alpha,\beta$ , there exists a positive integer $n>1$ such that

i) $\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha$ ii) $\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$ .

设 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$ 为 $n$ 的质因数分解。定义 $\omega(n)=t$ 和 $\Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t$ 。证明或反驳：

对于任何固定正整数 $k$ 和正实数 $\alpha,\beta$ ，存在一个正整数 $n>1$ 使得

i) $\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha$ ii) $\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$ 。