2016 CMO 第 3 题

In $\triangle AEF$ , let $B$ and $D$ be on segments $AE$ and $AF$ respectively, and let $ED$ and $FB$ intersect at $C$ . Define $K,L,M,N$ on segments $AB,BC,CD,DA$ such that $\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{BC}$ and its cyclic equivalents. Let the incircle of $\triangle AEF$ touch $AE,AF$ at $S,T$ respectively; let the incircle of $\triangle CEF$ touch $CE,CF$ at $U,V$ respectively.

Prove that $K,L,M,N$ concyclic implies $S,T,U,V$ concyclic.

在 $\triangle AEF$ 中，令 $B$ 和 $D$ 分别位于线段 $AE$ 和 $AF$ 上，并令 $ED$ 和 $FB$ 相交于 $C$ 。在线段 $AB,BC,CD,DA$ 上定义 $K,L,M,N$，使得 $\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{BC}$ 及其循环等价物。让$\三角形AEF$的内切圆分别在$S,T$处接触$AE,AF$；令$\三角形CEF$的内切圆分别在$U,V$处接触$CE,CF$。

证明 $K,L,M,N$ 同循环蕴含 $S,T,U,V$ 同循环。