2017 CMO 第 2 题

The sequences $\{u_{n}\}$ and $\{v_{n}\}$ are defined by $u_{0} =u_{1} =1$ , $u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2}$ $(n\geq2)$ , $v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c$ , $v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3}$ $(n\geq3)$ . There exists a positive integer $N$ such that when $n> N$ , we have $u_{n}\mid v_{n}$ . Prove that $3a=2b+c$ .

序列 $\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 定义为 $u_{0} =u_{1} =1$ 、 $u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2}$ $(n\geq2)$ 、 $v_{0} =a、 v_{1} =b 、 v_{2}=c$ 、 $v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3}$ $(n\geq3)$ 。存在一个正整数 $N$ ，当 $n> N$ 时，我们有 $u_{n}\mid v_{n}$ 。证明 $3a=2b+c$ 。