2018 CMO 第 1 题

Let $n$ be a positive integer. Let $A_n$ denote the set of primes $p$ such that there exists positive integers $a,b$ satisfying $$\frac{a+b}{p} \text{ and } \frac{a^n + b^n}{p^2}$$ are both integers that are relatively prime to $p$ . If $A_n$ is finite, let $f(n)$ denote $|A_n|$ .

a) Prove that $A_n$ is finite if and only if $n \not = 2$ .

b) Let $m,k$ be odd positive integers and let $d$ be their gcd. Show that $$f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).$$

令 $n$ 为正整数。令 $A_n$ 表示素数集 $p$ ，使得存在正整数 $a,b$ 满足 $$\frac{a+b}{p} \text{ 和 } \frac{a^n + b^n}{p^2}$$ 都是与 $p$ 互质的整数。如果 $A_n$ 是有限的，则令 $f(n)$ 表示 $|A_n|$ 。

a) 证明 $A_n$ 是有限的当且仅当 $n \not = 2$ 。

b) 令 $m,k$ 为奇数正整数，并令 $d$ 为它们的 gcd。证明 $$f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d)。$$