2018 CMO 第 3 题

Let $q$ be a positive integer which is not a perfect cube. Prove that there exists a positive constant $C$ such that for all natural numbers $n$ , one has $$\{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}$$ where $\{ x \}$ denotes the fractional part of $x$ .

令 $q$ 为一个非完美立方的正整数。证明存在一个正常数 $C$，使得对于所有自然数 $n$ ，有 $$\{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}$$ 其中 $\{ x \}$ 表示 $x$ 的小数部分。