2020 CMO 第 4 题

Given any positive integer $c$ , denote $p(c)$ as the largest prime factor of $c$ . A sequence $\{a_n\}$ of positive integers satisfies $a_1>1$ and $a_{n+1}=a_n+p(a_n)$ for all $n\ge 1$ . Prove that there must exist at least one perfect square in sequence $\{a_n\}$ .

给定任何正整数 $c$ ，将 $p(c)$ 表示为 $c$ 的最大质因数。对于所有 $n\ge 1$ ，正整数序列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1>1$ 和 $a_{n+1}=a_n+p(a_n)$ 。证明序列 $\{a_n\}$ 中必须至少存在一个完全平方数。