2023 CMO 第 3 题

Let $\triangle ABC$ be an equilateral triangle of side length 1. Let $D,E,F$ be points on $BC,AC,AB$ respectively, such that $\frac{DE}{20} = \frac{EF}{22} = \frac{FD}{38}$ . Let $X,Y,Z$ be on lines $BC,CA,AB$ respectively, such that $XY\perp DE, YZ\perp EF, ZX\perp FD$ . Find all possible values of $\frac{1}{[DEF]} + \frac{1}{[XYZ]}$ .

设 $\triangle ABC$ 为边长为 1 的等边三角形。设 $D,E,F$ 分别为 $BC,AC,AB$ 上的点，使得 $\frac{DE}{20} = \frac{EF}{22} = \frac{FD}{38}$ 。令 $X,Y,Z$ 分别位于 $BC,CA,AB$ 行上，使得 $XY\perp DE, YZ\perp EF, ZX\perp FD$ 。查找 $\frac{1}{[DEF]} + \frac{1}{[XYZ]}$ 的所有可能值。