2024 CMO 第 1 题

Let $p \geq 5$ be a prime and $S = \left\{ 1, 2, \ldots, p \right\}$ . Define $r(x,y)$ as follows: $$r(x,y) = \begin{cases} y - x & y \geq x y - x + p & y < x \end{cases}.$$
For a nonempty proper subset $A$ of $S$ , let $$f(A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} \left( r(x,y) \right)^2.$$ A *good* subset of $S$ is a nonempty proper subset $A$ satisfying that for all subsets $B \subseteq S$ of the same size as $A$ , $f(B) \geq f(A)$ . Find the largest integer $L$ such that there exists distinct good subsets $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \subseteq A_L$ .

*Proposed by Bin Wang*

设 $p \geq 5$ 为素数，且 $S = \left\{ 1, 2, \ldots, p \right\}$ 。定义 $r(x,y)$ 如下： $$r(x,y) = \begin{cases} y - x & y \geq x y - x + p & y < x \end{cases}.$$

对于 $S$ 的非空真子集 $A$ ，设 $$f(A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} \left( r(x,y) \right)^2。$$ $S$ 的 *good* 子集是一个非空真子集 $A$，满足与 $A$ 、 $f(B) \geq f(A)$ 大小相同的所有子集 $B \subseteq S$ 。找到最大的整数 $L$ ，使得存在不同的好子集 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \subseteq A_L$ 。

*王斌提议*