2024 CMO 第 5 题

In acute $\triangle {ABC}$ , ${K}$ is on the extention of segment $BC$ . $P, Q$ are two points such that $KP \parallel AB, BK=BP$ and $KQ\parallel AC, CK=CQ$ . The circumcircle of $\triangle KPQ$ intersects $AK$ again at ${T}$ . Prove that:
(1) $\angle BTC+\angle APB=\angle CQA$ .
(2) $AP \cdot BT \cdot CQ=AQ \cdot CT \cdot BP$ .

Proposed by *Yijie He* and *Yijuan Yao*

在锐角 $\triangle {ABC}$ 中，${K}$ 位于线段 $BC$ 的延长线上。 $P, Q$ 是两个点，使得 $KP \parallel AB, BK=BP$ 和 $KQ\parallel AC, CK=CQ$ 。 $\triangle KPQ$ 的外接圆再次与 $AK$ 相交于 ${T}$ 。证明：

(1) $\angle BTC+\angle APB=\angle CQA$ 。

(2) $AP \cdot BT \cdot CQ=AQ \cdot CT \cdot BP$ 。

由 *Yijie He* 和 *Yijuan Yao* 提议