2025 CMO 第 2 题

Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ . Denote the midpoints of $AI$ , $AC$ and $CI$ by $L$ , $M$ and $N$ respectively. Point $D$ lies on segment $AM$ such that $BC= BD$ . Let the incircle of triangle $ABD$ be tangent to $AD$ and $BD$ at $E$ and $F$ respectively. Denote the circumcenter of triangle $AIC$ by $J$ , and the circumcircle of triangle $JMD$ by $\omega$ . Lines $MN$ and $JL$ meet $\omega$ again at $P$ and $Q$ respectively. Prove that $PQ$ , $LN$ and $EF$ are concurrent.

设 $ABC$ 为中心为 $I$ 的三角形。分别用 $L$ 、 $M$ 和 $N$ 表示 $AI$ 、 $AC$ 和 $CI$ 的中点。点 $D$ 位于线段 $AM$ 上，使得 $BC= BD$ 。设三角形$ABD$的内切圆分别在$E$和$F$处与$AD$和$BD$相切。用 $J$ 表示三角形 $AIC$ 的外心，用 $\omega$ 表示三角形 $JMD$ 的外接圆。 $MN$ 和 $JL$ 线分别在 $P$ 和 $Q$ 再次与 $\omega$ 相交。证明 $PQ$ 、 $LN$ 和 $EF$ 是并发的。