1959 IMO 第 5 题

A segment $A B$ is given and on it a point $M$. On the same side of $A B$ squares $A M C D$ and $B M F E$ are constructed. The circumcircles of the two squares, whose centers are $P$ and $Q$, intersect in $M$ and another point $N$. (a) Prove that lines $F A$ and $B C$ intersect at $N$. (b) Prove that all such constructed lines $M N$ pass through the same point $S$, regardless of the selection of $M$. (c) Find the locus of the midpoints of all segments $P Q$, as $M$ varies along the segment $A B$.

给定线段$A B$，其上有点$M$。在 $A B$ 的同一侧构建了 $A M C D$ 和 $B M F E$ 方块。两个正方形的外接圆(其中心为 $P$ 和 $Q$)在 $M$ 和另一个点 $N$ 处相交。 (a) 证明线$F A$ 和$B C$ 相交于$N$。 (b) 证明所有这样构造的线 $M N$ 都经过同一点 $S$，无论 $M$ 的选择如何。 (c) 找到所有线段 $P Q$ 中点的轨迹，因为 $M$ 沿着线段 $A B$ 变化。