题面 IMO · 1965 · P6
来源 context
题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1965/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
We are given points in the plane. Let be the maximal distance between two of the given points. Prove that the number of pairs of points whose distance is equal to is less than or equal to .
我们在平面上得到 个点。令 为两个给定点之间的最大距离。证明距离等于的点对的数量小于或等于。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先标出所有固定量和会变化的点。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。
解答 folded
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1965 年第 6 题归入 geometry / combinatorics：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P6 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。