题面 IMO · 1967 · P1
来源 context
题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1967/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
(BUL 1) Prove that all numbers in the sequence are perfect cubes.
(BUL 1) 证明序列 中的所有数字都是完美立方。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看模小素数、最大公因数或整除链。
提示 2
把整数条件转成同余方程或 p 进指数比较。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例或下降。
解答 folded
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1967 年第 1 题归入 number theory：数论结构题：先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值，再用构造或反证把整数条件锁紧。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P1 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。