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番外 · 题谱 · 1969 · P6

1969 IMO 第 6 题

几何 / 组合 · P3/P6 · 压轴题

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题面 IMO · 1969 · P6
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1969/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1969 P6 geometrycombinatorics

Under the conditions x1,x2>0,x1y1>z12x_{1}, x_{2}>0, x_{1} y_{1}>z_{1}^{2}, and x2y2>z22x_{2} y_{2}>z_{2}^{2}, prove the inequality 8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)-\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}} \leq \frac{1}{x_{1} y_{1}-z_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2} y_{2}-z_{2}^{2}}

在x1、x2>0、x1y1>z12x_{1}、x_{2}>0、x_{1} y_{1}>z_{1}^{2}和x2y2>z22x_{2} y_{2}>z_{2}^{2}条件下，证明不等式8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)-\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}} \leq \frac{1}{x_{1} y_{1}-z_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2} y_{2}-z_{2}^{2}}

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先标出所有固定量和会变化的点。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1969 年第 6 题归入 geometry / combinatorics：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P6 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。