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番外 · 题谱 · 1971 · P5

1971 IMO 第 5 题

不等式 · P2/P5 · 中段题

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题面 IMO · 1971 · P5
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1971/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1971 P5 inequality

(HUN 1) IMO{ }^{\mathrm{IMO}} Let a,b,c,d,ea, b, c, d, e be real numbers. Prove that the expression (a−b)(a−c)(a−d)(a−e)+(b−a)(b−c)(b−d)(b−e)+(c−a)(c−b)(c−d)(c−e)+(d−a)(d−b)(d−c)(d−e)+(e−a)(e−b)(e−c)(e−d)\begin{gathered} (a-b)(a-c)(a-d)(a-e)+(b-a)(b-c)(b-d)(b-e)+(c-a)(c-b)(c-d)(c-e) \\ +(d-a)(d-b)(d-c)(d-e)+(e-a)(e-b)(e-c)(e-d) \end{gathered} is nonnegative.

(HUN 1) IMO{ }^{\mathrm{IMO}} 设 a,b,c,d,ea, b, c, d, e 为实数。证明表达式 (a−b)(a−c)(a−d)(a−e)+(b−a)(b−c)(b−d)(b−e)+(c−a)(c−b)(c−d)(c−e)+(d−a)(d−b)(d−c)(d−e)+(e−a)(e−b)(e−c)(e−d)\begin{gathered} (a-b)(a-c)(a-d)(a-e)+(b-a)(b-c)(b-d)(b-e)+(c-a)(c-b)(c-d)(c-e) \\ +(d-a)(d-b)(d-c)(d-e)+(e-a)(e-b)(e-c)(e-d) \end{gathered} 是非负数。

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先猜等号，再看每一项的量纲和同次性。

提示 2

试着归一化，或把式子拆成柯西、均值、凸性可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件是否和题设完全兼容。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1971 年第 5 题归入 inequality：不等式题：先判断等号形状，再选用均值、柯西、凸性、重排或归一化，把表达式压成可控的标准型。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P5 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。