1974 IMO 第 3 题

I 3 (SWE 3) ${ }^{\mathrm{IMO}}$ Let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients. If $n(P)$ is the number of (distinct) integers $k$ such that $P^{2}(k)=1$, prove that $$n(P)-\operatorname{deg}(P) \leq 2$$ where $\operatorname{deg}(P)$ denotes the degree of the polynomial $P$.

I 3 (SWE 3) ${ }^{\mathrm{IMO}}$ 令 $P(x)$ 为具有整数系数的多项式。如果 $n(P)$ 是(不同的)整数 $k$ 的数量，使得 $P^{2}(k)=1$，则证明 $$n(P)-\operatorname{deg}(P) \leq 2$$ 其中 $\operatorname{deg}(P)$ 表示多项式 $P$ 的次数。