题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1985/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
(BRA 3) A polyhedron has 12 faces and is such that: (i) all faces are isosceles triangles, (ii) all edges have length either or , (iii) at each vertex either 3 or 6 edges meet, and (iv) all dihedral angles are equal. Find the ratio .
(BRA 3) 多面体有 12 个面，且满足以下条件：(i) 所有面均为等腰三角形，(ii) 所有边的长度为 或 ，(iii) 在每个顶点有 3 条或 6 条边相交，以及 (iv) 所有二面角相等。求出比率 。
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解或单调性把所有可能排完。
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1985 年第 2 题归入 algebra：代数结构题：先把变量、方程或多项式关系整理成少数几个不变量，再看对称性、单调性或根的分布。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P2 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。