1985 IMO 第 4 题

(AUS 1) ${ }^{\mathrm{IMO} 2}$ Each of the numbers in the set $N=\{1,2,3, \ldots, n-1\}$, where $n \geq 3$, is colored with one of two colors, say red or black, so that: (i) $i$ and $n-i$ always receive the same color, and (ii) for some $j \in N$, relatively prime to $n, i$ and $|j-i|$ receive the same color for all $i \in N, i \neq j$. Prove that all numbers in $N$ must receive the same color.

(AUS 1) ${ }^{\mathrm{IMO} 2}$ 集合 $N=\{1,2,3, \ldots, n-1\}$(其中 $n \geq 3$)中的每个数字都用两种颜色之一着色，例如红色或黑色，因此：(i) $i$ 和 $n-i$ 总是接收相同的颜色，并且 (ii) 对于 N$中的某些$j，与 $n 互质， i$ 和 $|j-i|$ 对于所有 $i \in N, i \neq j$ 接收相同的颜色。证明 $N$ 中的所有数字必须具有相同的颜色。