1987 IMO 第 1 题

(AUS 6) Let $f$ be a function that satisfies the following conditions: (i) If $x>y$ and $f(y)-y \geq v \geq f(x)-x$, then $f(z)=v+z$, for some number $z$ between $x$ and $y$. (ii) The equation $f(x)=0$ has at least one solution, and among the solutions of this equation, there is one that is not smaller than all the other solutions; (iii) $f(0)=1$. (iv) $f(1987) \leq 1988$. (v) $f(x) f(y)=f(x f(y)+y f(x)-x y)$. Find $f(1987)$.

(AUS 6) 令 $f$ 为满足以下条件的函数： (i) 如果 $x>y$ 且 $f(y)-y \geq v \geq f(x)-x$，则 $f(z)=v+z$，对于 $x$ 和 $y$ 之间的某个数字 $z$。 (ii) 方程$f(x)=0$至少有一个解，且该方程的解中有一个不小于所有其他解； (iii)$f(0)=1$。 (iv) $f(1987) \leq 1988$。 (v)$f(x)f(y)=f(xf(y)+yf(x)-xy)$。查找$f(1987)$。