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番外 · 题谱 · 1987 · P6

1987 IMO 第 6 题

几何 / 组合 · P3/P6 · 压轴题

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题面 IMO · 1987 · P6
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1987/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1987 P6 geometrycombinatorics

(GRE 4) Show that if a,b,ca, b, c are the lengths of the sides of a triangle and if 2S=a+b+c2 S=a+b+c, then anb+c+bnc+a+cna+b≥(23)n−2Sn−1,n≥1\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b} \geq\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} S^{n-1}, \quad n \geq 1

(GRE 4) 证明如果 a,b,ca, b, c 是三角形的边长，并且 2S=a+b+c2 S=a+b+c，则 anb+c+bnc+a+cna+b≥(23)n−2Sn−1,n≥1\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b} \geq\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} S^{n-1}, \quad n \geq 1

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先标出所有固定量和会变化的点。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1987 年第 6 题归入 geometry / combinatorics：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P6 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。