1994 IMO 第 4 题

A4 (MON) Let $\mathbb{R}$ denote the set of all real numbers and $\mathbb{R}^{+}$the subset of all positive ones. Let $\alpha$ and $\beta$ be given elements in $\mathbb{R}$, not necessarily distinct. Find all functions $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ such that $$f(x) f(y)=y^{\alpha} f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{\beta} f\left(\frac{y}{2}\right) \quad \text { for all } x \text { and } y \text { in } \mathbb{R}^{+} .$$

A4 (MON) 设$\mathbb{R}$表示所有实数的集合，$\mathbb{R}^{+}$表示所有正数的子集。令 $\alpha$ 和 $\beta$ 为 $\mathbb{R}$ 中的给定元素，不一定不同。查找所有函数 $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ 使得 f(x) f(y)=y^{\alpha} f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{\beta} f\left(\frac{y}{2}\right) \quad \text { 对于 } 中的所有 } x \text { 和 } y \text { \mathbb{R}^{+} 。