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番外 · 题谱 · 1996 · P3

1996 IMO 第 3 题

几何 · P3/P6 · 超难题

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题面 IMO · 1996 · P3
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1996/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1996 P3 geometry

A3 (GRE) Let a>2a>2 be given, and define recursively a0=1,a1=a,an+1=(an2an−12−2)ana_{0}=1, \quad a_{1}=a, \quad a_{n+1}=\left(\frac{a_{n}^{2}}{a_{n-1}^{2}}-2\right) a_{n} Show that for all k∈Nk \in \mathbb{N}, we have 1a0+1a1+1a2+⋯+1ak<12(2+a−a2−4).\frac{1}{a_{0}}+\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}<\frac{1}{2}\left(2+a-\sqrt{a^{2}-4}\right) .

A3 (GRE) 给定 a>2a>2，并递归定义 a0=1,a1=a,an+1=(an2an−12−2)ana_{0}=1, \quad a_{1}=a, \quad a_{n+1}=\left(\frac{a_{n}^{2}}{a_{n-1}^{2}}-2\right) a_{n} 证明对于 \mathbb{N}中的所有中的所有k \，我们有 1a0+1a1+1a2+⋯+1ak<12(2+a−a2−4)。\frac{1}{a_{0}}+\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}<\frac{1}{2}\left(2+a-\sqrt{a^{2}-4}\right) 。

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先标出所有固定量和会变化的点。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1996 年第 3 题归入 geometry：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P3 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。